Question

如圖，在直角坐標系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點D在y軸上．直線CB的表達式為y=-

4

3

x+

16

3

，點A、D的坐標分別為（-4，0），（0，4）．動點P自A點出發(fā)，在AB上勻速運行．動點Q自點B出發(fā)，在折線BCD上勻速運行，速度均為每秒1個單位．當其中一個動點到達終點時，它們同時停止運動．設點P運動t（秒）時，△OPQ的面積為s（不能構(gòu)成△OPQ的動點除外）．
（1）求出點B、C的坐標；
（2）求s隨t變化的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當t為何值時s有最大值？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）把y=4代入y=-

4

3

x+

16

3

，求得x的值，則可得點C的坐標，把y=0代入y=-

4

3

x+

16

3

，求得x的值，即可得點B的坐標；
（2）作CM⊥AB于M，則可求得CM與BM的值，求得∠ABC的正弦值，然后分別從0＜t＜4時，當4＜t≤5時與當5＜t≤6時去分析求解即可求得答案；
（3）在（2）的情況下s的最大值，然后比較即可求得答案．

解答：解：（1）把y=4代入y=-

4

3

x+

16

3

，得x=1．
∴C點的坐標為（1，4）．
當y=0時，-

4

3

x+

16

3

=0，
∴x=4．
∴點B坐標為（4，0）．

（2）作CM⊥AB于M，則CM=4，BM=3．
∴BC=

CM2+BM2

=

32+42

=5．
∴sin∠ABC=

CM

BC

=

4

5

．
①0＜t＜4時，作QN⊥OB于N，
則QN=BQ•sin∠ABC=

4

5

t．
∴S=

1

2

OP•QN=

1

2

（4-t）×

4

5

t=-

2

5

t²+

8

5

t（0＜t＜4）．

②當4＜t≤5時，（如圖1），
連接QO，QP，作QN⊥OB于N．
同理可得QN=

4

5

t．
∴S=

1

2

OP•QN=

1

2

×（t-4）×

4

5

t=

2

5

t²-

8

5

t（4＜t≤5）．

③當5＜t≤6時，（如圖2），
連接QO，QP．
S=

1

2

×OP×OD=

1

2

（t-4）×4=2t-8（5＜t≤6）．

（3）①在0＜t＜4時，
當t=-

8 5

2×(- 2 5 )

=2時，
S_最大=

-( 8 5 )2

4×(- 2 5 )

=

8

5

．
②在4＜t≤5時，對于拋物線S=

2

5

t²-

8

5

t，當t=-

- 8 5

2× 2 5

=2時，
S_最小=

2

5

×2²-

8

5

×2=-

8

5

．
∴拋物線S=

2

5

t²-

8

5

t的頂點為（2，-

8

5

）．
∴在4＜t≤5時，S隨t的增大而增大．
∴當t=5時，S_最大=

2

5

×5²-

8

5

×5=2．

③在5＜t≤6時，
在S=2t-8中，
∵k=2＞0，
∴S隨t的增大而增大．
∴當t=6時，S_最大=2×6-8=4．
∴綜合三種情況，當t=6時，S取得最大值，最大值是4．

點評：此題考查了點與函數(shù)的關(guān)系，三角形面積的求解方法以及利用二次函數(shù)的知識求函數(shù)的最大值的問題．此題綜合性很強，難度較大，解題時要注意分類討論思想，方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．