Question

【題目】（本題滿分分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(1)．如圖1，直線過(guò)點(diǎn)且平行于軸,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連接，猜想與的大小關(guān)系： ______ (填寫“＞”“＜”或“=” ）,并證明你的猜想．

(2)．請(qǐng)利用(1)的結(jié)論解決下列問(wèn)題：

①．如圖2,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為, 連接,問(wèn)是否存在最小值?如果存在,請(qǐng)說(shuō)明理由,并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

②．若過(guò)動(dòng)點(diǎn)和點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn),且,求直線的解析式(圖3為備用圖).

Answer 1

【答案】（1）=；理由見解析；（2）①存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）；②y=x﹣1或y=﹣x﹣1．

【解析】試題分析：（1）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，設(shè)P（m，﹣m2﹣2），則B（m，﹣1），然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出PA和PB，從而可判斷它們相等；

（2）①過(guò)點(diǎn)Q作QB∥x軸，過(guò)P點(diǎn)作PB⊥QB于B點(diǎn)，如圖2，由（1）得PB=PA，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)P、B、C共線時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)；

②過(guò)點(diǎn)Q（0，﹣1）作直線l平行于x軸，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如圖3，由（1）得PB=PA，DE=DA，再證明△QDE∽△QPB，利用相似比得到==，設(shè)P（m，﹣m2﹣2），則B（m，﹣1），PB=m2+1，易得E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣1），D點(diǎn)坐標(biāo)為[m，﹣（m）2﹣2]，則ED=m2+1，然后根據(jù)DE和PB的數(shù)量關(guān)系列方程m2+1=4（m2+1），解方程求出m，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求直線PQ的解析式．

解：（1）PA與PB相等．

理由如下：設(shè)P（m，﹣m2﹣2），則B（m，﹣1），

∵PA===m2+1，

PB=﹣1﹣（﹣m2﹣2）=m2+1，

∴PA=PB．

故答案為=；

（2）①存在．

過(guò)點(diǎn)Q作QB∥x軸，過(guò)P點(diǎn)作PB⊥QB于B點(diǎn)，如圖2，由（1）得PB=PA，則PA+PC=PB+PC，

當(dāng)點(diǎn)P、B、C共線時(shí)，PB+PC最小，此時(shí)PC⊥QB，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣x2﹣2=﹣×4﹣2=﹣3，

即此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣3）；

②過(guò)點(diǎn)Q（0，﹣1）作直線l平行于x軸，作PB⊥l于B，DE⊥l于E，如圖3，由（1）得PB=PA，DE=DA，

∵PA=4AD，

∴PB=4DE，

∵DE∥PB，

∴△QDE∽△QPB，

∴==，

設(shè)P（m，﹣m2﹣2），則B（m，﹣1），PB=m2+1，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，﹣1），D點(diǎn)坐標(biāo)為[m，﹣（m）2﹣2]，

∴ED=﹣1+（m）2+2=m2+1，

∴m2+1=4（m2+1），解得m1=4，m2=﹣4，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣6）或（﹣4，﹣6），

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣6）時(shí)，直線PQ的解析式為y=﹣x﹣1，

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣4，﹣6）時(shí)，直線PQ的解析式為y=x﹣1，

即直線PQ的解析式為y=x﹣1或y=﹣x﹣1．