Question

【題目】如圖，∠MBC和∠NCB是△ABC的外角，點O是∠MBC和∠NCB的平分線的交點，點O叫做△ABC的旁心.

(1)已知∠A＝100°，那么∠BOC等于多少度；

(2)猜想∠BOC與∠A有什么數量關系?并證明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）40；（2）90°-∠A，見解析．

【解析】

（1）根據BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，即可得到∠OBC=∠MBC，∠OCB=∠NCB，利用三角形外角性質，即可得出∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），再根據∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB進行計算即可．
（2）利用（1）中的方法，即可得到∠BOC與∠A的數量關系．

解：（1）∵BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，
∴∠OBC=∠MBC，∠OCB=∠NCB，
∵∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-（180°+∠A）
=90°-∠A
=90°-×100°
=40°，
故答案為：40；
（2）猜想：∠BOC=90°-∠A．
證明：∵BO平分∠MBC，CO平分∠NCB，
∴∠OBC=∠MBC，∠OCB=∠NCB，
∵∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB
=180°-（∠A+∠ACB）-（∠A+∠ABC）
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-（180°+∠A）
=90°-∠A．

故答案為：（1）40；（2）90°-∠A，見解析．