Question

10．如圖△ABC中有一正方形DEFG，其中D在AC上，E、F在AB上，直線AG分別交DE、BC于M、N兩點．若∠B=90°，AC=5，BC=3，DG=1，則BN的長度為（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{8}{5}$
• D． $\frac{12}{7}$

Answer 1

分析 在Rt△ABC中，先利用勾股定理計算出AB=4，再利用正方形的性質得DE=EF=GF=DG=1，∠DEG=∠GFE=90°，接著證明△ADE∽△ACB，則利用相似比可計算出AE=$\frac{4}{3}$，所以AF=$\frac{7}{3}$，然后證明△AGF∽△ANB，于是利用相似比可計算出BN．

解答 解：在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵四邊形DEFG為正方形，
∴DE=EF=GF=DG=1，∠DEG=∠GFE=90°，
而∠B=90°，
∴∠AED=∠B，
∵∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AE}{BC}$，即$\frac{1}{3}$=$\frac{AE}{4}$，
∴AE=$\frac{4}{3}$，
∴AF=AE+EF=$\frac{7}{3}$，
∵∠GFA=∠B，∠GAF=∠NAB，
∴△AGF∽△ANB，
∴$\frac{GF}{BN}$=$\frac{AF}{AB}$，積$\frac{1}{BN}$=$\frac{\frac{7}{3}}{4}$，
∴BN=$\frac{12}{7}$．
故選D．

點評 本題考查了相似三角形的判定于性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；在利用相似三角形的性質時主要利用相似比計算線段的長．也考查了正方形的性質．