Question

如圖，拋物線C₁：y=ax²+bx+1的頂點坐標為D（1，0），
（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）如圖1，將拋物線C₁向右平移1個單位，向下平移1個單位得到拋物線C₂，直線y=x+c，經過點D交y軸于點A，交拋物線C₂于點B，拋物線C₂的頂點為P，求△DBP的面積
（3）如圖2，連接AP，過點B作BC⊥AP于C，設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點，連接PQ并延長交BC于點E，連接BQ并延長交AC于點F，試證明：FC（AC+EC）為定值．

Answer 1

分析：（1）已知頂點P的坐標，設拋物線的頂點式為：y=a（x-1）²，將點（0，1）代入即可；
（2）根據平移規律求出平移后拋物線的頂點坐標，即P（2，-1），根據頂點式，得平移后拋物線解析式y=（x-2）²-1，由解析式，得A（0，-1），B（4，3），可求△DBP的面積；
（3）由QM∥CE，得△PQM∽△PEC，利用相似比求EC，由QN∥FC，得△BQN∽△BFC，利用相似比求FC，已知AC=4，再計算FC（AC+EC）為定值．

解答：（1）解：∵拋物線頂點為D（1，0），經過點（0，1）
∴可設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，將點（0，1）代入，得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1；
（2）解：根據題意，平移后頂點坐標P（2，-1）
∴拋物線的解析式為：y=（x-2）²-1，
∴A（0，-1），B（4，3），
∴S_△DBP=3；
（3）證明：過點Q作QM⊥AC于點M，過點Q作QN⊥BC于點N，
設點Q的坐標是（t，t²-4t+3），則QM=CN=（t-2）²，MC=QN=4-t．
∵QM∥CE，
∴△PQM∽△PEC，
∴

QM

EC

=

PM

PC

，
即

(t-2)2

EC

=

t-2

2

，
得EC=2（t-2），
∵QN∥FC，
∴△BQN∽△BFC，
∴

QN

FC

=

BN

BC

，
即

4-t

FC

=

3-(t2-4t+3)

4

，
得FC=

4

t

，
又∵AC=4，
∴FC（AC+EC）=

4

t

[4+2（t-2）]=8，
即FC（AC+EC）為定值8．

點評：本題考查了二次函數的解析式的求法，相似三角形的判定與性質的綜合能力培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．