Question

【題目】定義：如圖1，在平面直角坐標系中，點M是二次函數圖象上一點，過點M作軸，如果二次函數的圖象與關于l成軸對稱，則稱是關于點M的伴隨函數如圖2，在平面直角坐標系中，二次函數的函數表達式是，點M是二次函數圖象上一點，且點M的橫坐標為m，二次函數是關于點M的伴隨函數．

若，

求的函數表達式．

點，在二次函數的圖象上，若，a的取值范圍為______．

過點M作軸，

如果，線段MN與的圖象交于點P，且MP：：3，求m的值．

如圖3，二次函數的圖象在MN上方的部分記為，剩余的部分沿MN翻折得到，由和所組成的圖象記為.以、為頂點在x軸上方作正方形直接寫出正方形ABCD與G有三個公共點時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】的函數表達式為， ；

或， 當或時，G與正方形ABCD有三個公共點．

【解析】

根據題意，當時，可得到拋物線的頂點為，再用頂點式寫出函數表達式即可；

由點，在二次函數的圖象上，得到，再根據，可得a的取值范圍；

由軸，MP：：3，得到，然后根據當m＞0和m＜0時，分情況討論即可得到答案；

通過分別分析當m=,1，，2值，得到正方形與G的公共點數，從而得到正方形與G有三個公共點時m的取值范圍.

當時，拋物線與拋物線關于直線對稱，

拋物線的頂點是，

拋物線的解析式為；

點，在二次函數的圖象上，

∴，

當時，，

解得：，

故答案為：；

軸，MP：：3，

∴，

當時，，，

當時，，，

故或；

分析圖象可知：

當時，可知C1和G的對稱軸關于直線對稱，的頂點恰在AD上，此時G與正方形有2個公共點，

當時，G與正方形ABCD有三個公共點，

當時，直線MN與x軸重合，G與正方形有三個公共點，

當1＜m＜時，G與正方形ABCD有五個公共點，

當m＝時，G的頂點與點C(3,2)重合，且G對稱軸左側部分與正方形有三個公共點，

當＜m＜2時，G與正方形ABCD有四個個公共點，

當時，G過點且G對稱軸左側部分與正方形有兩個公共點，

故當或時，G與正方形ABCD有三個公共點．