Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c經過原點（0，0）和A（1，-3），B（-1，5）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線與x軸的另一個交點為C，以OC為直徑作⊙M，如果過拋物線上一點P作⊙M的切線PD，切點為D，且與y軸的正半軸交點為E，連接MD，已知E點的坐標為（0，m），求四邊形EOMD的面積（用含m的代數式表示）；
（3）延長DM交⊙M于點N，連接ON，OD，當點P在（2）的條件下運動到什么位置時，能使得四邊形EOMD和△DON的面積相等，請求出此時點P的坐標．

Answer 1

（1）∵拋物線過O（0，0），A（1，-3），B（-1，5）三點，
∴

c=0 a+b+c=-3 a-b+c=5

，
解得

a=1 b=-4 c=0

；
∴拋物線的解析式為y=x²-4x；

（2）拋物線y=x²-4x與x軸的另一個交點坐標為C（4，0），連接EM；
∴⊙M的半徑為2，即OM=DM=2；
∵ED、EO都是⊙M的切線，
∴EO=ED，△EOM≌△EDM；
∴S_{四邊形EOMD}=2S_△OME=2×

1

2

OM•OE=2m；

（3）延長DM交⊙M于點N，連接ON，OD，EM，
設點D的坐標為（x₀，y₀），
∵S_△DON=2S_△DOM=2×

1

2

OM×y₀=2y₀，
當S_{四邊形EOMD}=S_△DON時，即2m=2y₀，m=y₀；
∵m=y₀，ED∥x軸，
又∵ED為切線，
∴D點的坐標為（2，2）；
∵P在直線ED上，故設P點的坐標為（x，2），
∵P在拋物線上，
∴2=x²-4x，
解得x=2±

6

；
∴P（2+

6

，2）或P（2-

6

，2）為所求．