Question

【題目】已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC．

（1）發現：如圖1，當點E在AB上且點C和點D重合時，若點M、N分別是DB、EC的中點，則MN與EC的位置關系是 ，MN與EC的數量關系是 ．

（2）探究：若把（1）小題中的△AED繞點A順時針旋轉45°得到的圖2，連接BD和EC，并連接DB、EC的中點M、N，則MN與EC的位置關系和數量關系仍然能成立嗎？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由．

（3）若把（1）小題中的△AED繞點A逆時針旋轉45°得到的圖3，連接BD和EC，并連接DB、EC的中點M、N，則MN與EC的位置關系和數量關系仍然能成立嗎？若成立，請給予證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）MN⊥EC，MN=EC；（2）成立，理由見解析；（3）成立，理由見解析

【解析】

試題分析：（1）根據中位線定理，結合等腰直角三角形性質即可直接得出結論；

（2）連接EM并延長交BC于F，證明△EDM≌△FBM，運用線段的等量代換即可求解；

（3）延長ED交BC于點F，連接AF、MF，結合矩形的性質和等腰直角三角形性質，合理運用角的等量代換即可求解．

解：（1）MN⊥EC，MN=EC；

由等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，

可知，AE=BE=EC，DE⊥AB，

∵點M、N分別是DB、EC的中點，

∴MN∥AB，且MN=BE，

∴MN⊥EC，MN=EC；

（2）如圖2

連接EM并延長交BC于F，

∵∠AED=∠ACB=90°，

∴DE∥BC，

∴∠DEM=∠AFM，∠EDM=∠MBF，

又BM=MD，

在△EDM和△FBM中，

，

∴△EDM≌△FBM，

∴BF=DE=AE，EM=FM，

∴MN=FC=（BC﹣BF）=（AC﹣AF）=EC，

且MN⊥EC；

（3）如圖3

延長ED交BC于點F，連接AF、MF，則AF為矩形ACFE對角線，所以必經過EC的中點N且AN=NF=EN=NC．

在Rt△BDF中，M是BD的中點，∠B=45°，

∴FD=FB，

∴FM⊥AB，

∴MN=NA=NF=NC，

即MN=EC，

∴∠NAM=∠AMN，∠NAC=∠NCA，

∴∠MNF=∠NAM+∠AMN=2∠NAM，∠FNC=∠NAC+∠NCA=2∠NAC，

∴∠MNC=∠MNF+∠FNC=2∠NAM+2∠NAC=2（∠NAM+∠NAC）=2∠DAC=90°，

∴∠MNC=90°，

即MN⊥FC且MN=EC．