Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點P是AB邊上一動點．

當△PCB是等腰三角形時，求AP的長度.

Answer 1

【答案】AP的長為2.5或2或1.4.

【解析】試題分析：

當△PCB為等腰三角形時，存在3種情況：①PC＝PB、②BC＝BP、③CB＝CP，結合已知條件分上面三種情況討論解出對應的AP長度即可.

試題解析：

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝=5.

當△PCB為等腰三角形時，存在3種情況：①PC＝PB、②BC＝BP、③CB＝CP，現分別討論如下：

① 如圖1，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，

∴當點P是AB的中點時，PC＝PB=AP=AB，△PCB是等腰三角形，此時：AP＝AB =2.5；

② 如圖2，當BP=BC=3時，△PCB是等腰三角形，此時AP＝AB-BC=5-3=2；

③ 如圖3，當CB＝CP時，△PCB是等腰三角形，此時過點C作CD⊥AB于點D，則DP＝DB，

∵在△ABC中， ，

∴，解得CD=2.4.

∴在Rt△CBD中，利用勾股定理可得：BD＝=1.8.

∴ BP＝2BD＝3.6.

∴ AP＝AB-BP=1.4.

綜上上述：若△PCB是等腰三角形，則AP的長為2.5或2或1.4.