Question

（2013•相城區(qū)模擬）如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸交該拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，且AB=2，CD=4．
（1）該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為

直線(xiàn)x=2

，B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3，0

），CO=

3

；
（2）若P為線(xiàn)段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，四邊形PBQD是平行四邊形，連接PQ．試探究：
①是否存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ²=PB²+PD²？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②當(dāng)PQ長(zhǎng)度最小時(shí)，求出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，利用CD的長(zhǎng)度求出對(duì)稱(chēng)軸，再根據(jù)AB的長(zhǎng)度結(jié)合對(duì)稱(chēng)軸求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸求出b的值，再把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式求出c的值，即可得到CO的長(zhǎng)；
（2）①根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得PB=DQ，再利用勾股定理逆定理判斷出∠PDQ=90°，然后根據(jù)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)求出∠DPB=90°，再判斷出△PBO和△DPC相似，根據(jù)相似三角形的列式表示出OP，整理后根據(jù)方程解的情況確定點(diǎn)P不存在；
②連接BD交PQ于點(diǎn)M，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分可得M為BD、PQ的中點(diǎn)，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可得P為OC的中點(diǎn)時(shí)，MP最小，PQ也最小，再根據(jù)梯形的中位線(xiàn)定理求出PM的長(zhǎng)度，然后得到PQ的長(zhǎng)度，最后寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C在y軸上，CD=4，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=

4

2

=2，
∵AB=2，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2+

2

2

=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）；
∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-

b

2×1

=-2，
∴b=-4，
∵點(diǎn)B（3，0）在拋物線(xiàn)上，
∴9-4×3+c=0，
解得c=3，
∴CO=3；

（2）①不存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ²=PB²+PD²．
理由如下：∵四邊形PBQD是平行四邊形，
∴PB=DQ，
若PQ²=PB²+PD²，則PQ²=DQ²+PD²，
∴∠PDQ=90°，
∵四邊形PBQD是平行四邊，
∴AB∥DQ，
∴∠BPD=180°-90°=90°，
∴△PBO∽△DPC，
∴

PO

CD

=

BO

PC

，
設(shè)OP=m，則

m

4

=

3

3-m

，
整理得，m²-3m+12=0，
△=（-3）²-4×1×12=-39＜0，
∴這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
∴不存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ²=PB²+PD²；

②連接BD交PQ于M，
∵四邊形PBQD是平行四邊形，
∴M為BD、PQ的中點(diǎn)，
∴PQ取得最小值時(shí)，MP必定取得最小值，
根據(jù)垂線(xiàn)段最短，當(dāng)P為OC的中點(diǎn)時(shí)，PQ最小，
此時(shí)，MP為梯形OBDC的中位線(xiàn)，MP∥OB，MP⊥y軸，
MP=

1

2

×（3+4）=

7

2

，
∴PQ的最小值為2×

7

2

=7，
此時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（7，

3

2

）．
故答案為：直線(xiàn)x=2；（3，0）；3．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對(duì)角線(xiàn)互相平分的性質(zhì)，根的判別式的應(yīng)用，梯形的中位線(xiàn)定理以及垂線(xiàn)段最短的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．