Question

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，點A、B分別是x軸和y軸上的一動點．

（1）如圖1，若點C的橫坐標為4，求點B的坐標；
（2）如圖2，BC交x軸于D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標為3，A（5，0），求點D的坐標．
（3）如圖3，分別以OB、AB為直角邊在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y軸于M，求 S_△BEM：S_△ABO．

Answer 1

(1) B（0，-4）;(2) D（-1，0）;(3) S_△BEM：S_△ABO=1：2.

試題分析：(1)一般情況下,給了一個點的橫坐標,都把這個點的橫坐標作出來, 作CM⊥y軸于點M，要想求出B點坐標,只需要求出線段OB的長度,直觀上看△BCM≌△ABO ,找全等的條件,因為∠ABC=∠AOB=90゜，
所以∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，所以∠CBM=∠BAO，再由題目中的條件,全等的條件已經夠了,在△BCM和△ABO中,∠CBM=∠BAO,∠BMC=∠AOB=90゜，AB=BC,所以△BCM≌△ABO（AAS），OB=CM=4，
B（0，-4）;(2)要想求出D點坐標,只需要求出線段OD的長度,但條件中與OD關聯的條件很少,考慮作輔助線,作CM⊥x軸于點M，交AB的延長線于點N，則∠AMC=∠AMN=90°，因為點C的縱坐標為3，所以CM=3，
因為AD平分∠CAB，所以∠CAM=∠NAM，所以△AMC≌△AMN（ASA），所以CM=MN=3，CN=6，因為CM⊥AD，∠CBA=90°，所以∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，因為∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，所以∠NCB=∠BAD，所以△CBN≌△ABD（ASA），所以AD=6，因為A（5，0），D（-1，0）;(3)作EN⊥y軸于點N，因為∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，所以∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
所以∠NBE=∠BAO，所以△ABO≌△BEN（AAS），所以△ABO的面積=△BEN的面積，OB=NE=BF，因為∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，所以△BFM≌△NEM（AAS），所以BM=NM，因為△BME邊BM上的高和△NME的邊MN上的高相等，所以S_△BEN=S_△BEM=S_△BEN=S_△ABO，即S_△BEM：S_△ABO=1：2．S_△BEM：S_△ABO=1：2.
試題解析：
（1）如圖1，作CM⊥y軸于點M，則CM=4，

∵∠ABC=∠AOB=90゜，
∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM和△ABO中,∠CBM=∠BAO,∠BMC=∠AOB=90゜，AB=BC,
∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴OB=CM=4，
∴B（0，-4）．
（2）如圖2，作CM⊥x軸于點M，交AB的延長線于點N，

則∠AMC=∠AMN=90°，
∵點C的縱坐標為3，
∴CM=3，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAM=∠NAM，
在△CAM和△NAM中,∠AMC=∠AMN=90°,AM=AM,∠CAM=∠NAM，
∴△AMC≌△AMN（ASA），
∴CM=MN=3，
∴CN=6，
∵CM⊥AD，∠CBA=90°，
∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，
∵∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，
∴∠NCB=∠BAD，
在△CBN和△ABD中,∠CBN=∠ABD,CB=AB,∠NCB=∠BAD,
∴△CBN≌△ABD（ASA），
∴AD=CN=2CM=6，
∵A（5，0），
∴D（-1，0）．
（3）如圖3，作EN⊥y軸于點N，

∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中,∠ENB=∠BOA,∠NBE=∠BAO，AB=BE,
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴△ABO的面積=△BEN的面積，OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，
∴在△BFM和△NEM中, ∠FBM=∠BNE ,∠BMF=∠NME,NE=BF,
∴△BFM≌△NEM（AAS），
∴BM=NM，
∵△BME邊BM上的高和△NME的邊MN上的高相等，
∴S_△BEN=S_△BEM=S_△BEN=S_△ABO，
即S_△BEM：S_△ABO=1：2．