Question

【題目】如圖，已知⊙O與等腰△ABD的兩腰AB、AD分別相切于點E、F，連接AO并延長到點C，使OC=AO，連接CD、CB．

（1）試判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；

（2）若AB=4cm，填空：

①當⊙O的半徑為 　cm時，△ABD為等邊三角形；

②當⊙O的半徑為　 　cm時，四邊形ABCD為正方形．

Answer 1

【答案】（1）菱形，理由見解析；（2）①；②2.

【解析】分析：（1）由AB、AD分別相切于點E、F，得到∠EAO=∠FAO，于是得到OD=OB，根據AO=OC，推出四邊形ABCD是平行四邊形，于是得到結論；

（2）①連接OE由切線的性質得到OE⊥AD，由△ABD為等邊三角形，得到BD=AB=AD=4，根據直角三角形的性質得到結論由正方形的性質得到∠DAO=∠ADO=45°，由AD=AB=4，得到OA=OD=2，根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．

詳解：（1）四邊形ABCD是菱形，

理由如下：∵AB、AD分別相切于點E、F，

∴∠EAO=∠FAO，

∴OD=OB，

∵AO=OC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB=AD，

∴ABCD是菱形；

（2）①當⊙O的半徑為時，△ABD為等邊三角形；

連接OE，∵AD切⊙O于點E，

∴OE⊥AD，

∵△ABD為等邊三角形，

∴BD=AB=AD=4，

∴∠DAO=30°，

∴OD=BD=2，AO=2，

∴OE=AO=，

∴當⊙O的半徑為時，△ABD為等邊三角形；

故答案為：；

②當⊙O的半徑為2cm時，四邊形ABCD為正方形；

如圖，∴∠DAO=∠ADO=45°，

∵AD=AB=4，

∴OA=OD=2，

由（2）知，OE⊥AD，

∴OE=AE=2，

∴當⊙O的半徑為2cm時，四邊形ABCD為正方形；

故答案為：2．