Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB= ，點E為對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE．交射線BC于點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
①求證：矩形DEFG是正方形；
②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】①證明：過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，如圖所示： ∵正方形ABCD
∴∠BCD=90°，∠ECN=45°
∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°
且NE=NC，
∴四邊形EMCN為正方形
∵四邊形DEFG是矩形，
∴EM=EN，∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°
∴∠DEN=∠MEF，
又∠DNE=∠FME=90°，
在△DEN和△FEM中， ，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED=EF，
∴矩形DEFG為正方形，
②解：CE+CG的值為定值，理由如下：
∵矩形DEFG為正方形，
∴DE=DG，∠EDC+∠CDG=90°
∵四邊形ABCD是正方形，
∵AD=DC，∠ADE+∠EDC=90°
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中， ，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG
∴AC=AE+CE= AB= ×2 =4，
∴CE+CG=4 是定值．

【解析】①作出輔助線，得到EN=EM，然后判斷∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE=EF即可；②同①的方法證出△ADE≌△CDG得到CG=AE，得出CE+CG=CE+AE=AC=4即可．
【考點精析】掌握矩形的性質是解答本題的根本，需要知道矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等．