Question

【題目】蘇科版九年級下冊數學課本91頁有這樣一道習題：

（1）復習時，小明與小亮、數學老師交流了自己的兩個見解，并得到了老師的認可：

①可以假定正方形的邊長AB＝4a，則AE＝DE＝2a，DF＝a，利用“兩邊分別成比例且夾角相等的兩個三角形相似”可以證明△ABE∽△DEF；請結合提示寫出證明過程．

②圖中的相似三角形共三對，而且可以借助于△ABE與△DEF中的比例線段來證明△EBF與它們相似．證明過程如下：

（2）交流之后，小亮嘗試對問題進行了變化，在老師的幫助下，提出了新的問題，請你解答：

已知：如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連結FC．

（AB＞AE）

①求證：△AEF∽△ECF；

②設BC＝2，AB＝a，是否存在a值，使得△AEF與△BFC相似．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②當a＝時，△AEF與△BFC相似

【解析】(1)按提示，列出條件，便得到相似三角形；

（2）由∠AEF＝∠DCE，∠A＝∠D＝90°，可證△AEF∽△DEC，得，再由AE＝ED，得，證得△AEF∽△EFC．

②由題意得：AE＝DE＝1，由△AEF∽△DCE得：AF＝，故BF＝a－．分兩種情況：若△AEF∽△BFC則；若△AEF∽△BCF，則．分別求解可得.

（1）①證明：假定正方形的邊長AB＝4a，則AE＝DE＝2a，DF＝a，

在正方形ABCD中，∠A＝∠D＝90°．

＝2，∠A＝∠D＝90°．

∴△ABE∽△DEF．

（2）①證明：∵∠D＝90°，∴∠D EC＋∠DCE＝90°

∵EF⊥EC，∴∠D EC＋∠AEF＝90°

∴∠AEF＝∠DCE，又因為∠A＝∠D＝90°

∴△AEF∽△DEC

∴，∵AE＝ED,

∴，即，∵∠A＝∠BEF＝90°

∴△AEF∽△EFC．

②由題意得：AE＝DE＝1，由△AEF∽△DCE得：AF＝，故BF＝a－．

若△AEF∽△BFC

則，此時a無解；

若△AEF∽△BCF

則 ，此時a＝．

所以，當a＝時，△AEF與△BFC相似．