Question

【題目】如圖在平行四邊形ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,四條內角平分線圍成四邊形EFGH面積為，則平行四邊形ABCD面積為________

Answer 1

【答案】

【解析】

先證明四邊形EFGH為矩形，再利用矩形的面積計算出EG的長，從而進一步計算平行四邊形ABCD的面積．

延長AF交BC于點M，過點A作AN⊥BC于點N，連接EG

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD∥BC

又∵∠ABC=60°

∴∠BAD=180°-60°=120°

又∵BH、AF分別平分∠ABC、∠BAD

∴∠ABH=，∠BAE=

∴∠HEF=∠AEB=

同理，∠H=∠HGF=90°

在四邊形EFGH中，∠H=∠HEF=∠HGF=90°

∴四邊形EFGH為矩形

在△ABM中，∠ABM=∠BAM=60°

∴△ABM為等邊三角形

又∵BE平分∠ABM，AB=4

∴

同理可得，

∴

∵四邊形EFGH為矩形

∴EM∥CG

∵且EM∥CG

∴四邊形EMCG為平行四邊形

∴EG∥CM

∴∠HEG=∠HBC=30°

∴

不妨設HG=a，EG=2a，

則由勾股定理可得

∵四邊形EFGH面積為

∴

∴

∴CM=EG=2a=2

在Rt△ABN中，∠ABN=60°, ∠ANB=90°,AB=4

∴，

∴

故答案為：．