Question

【題目】如圖，已知直線l切⊙O于點A，B為⊙O上一點，過點B作BC⊥l，垂足為點C，連接AB、OB．

（1）求證：∠ABC＝∠ABO；

（2）若AB＝，AC＝1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）⊙O的半徑是．

【解析】

（1）連接OA，求出OA∥BC，根據平行線的性質和等腰三角形的性質得出∠OBA＝∠OAB，∠OBA＝∠ABC，即可得出答案；

（2）根據矩形的性質求出OD＝AC＝1，根據勾股定理求出BC，根據垂徑定理求出BD，再根據勾股定理求出OB即可．

（1）證明：連接OA，

∵OB＝OA，

∴∠OBA＝∠OAB，

∵AC切⊙O于A，

∴OA⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OA∥BC，

∴∠OBA＝∠ABC，

∴∠ABC＝∠ABO；

（2）解：過O作OD⊥BC于D，

∵OD⊥BC，BC⊥AC，OA⊥AC，

∴∠ODC＝∠DCA＝∠OAC＝90°，

∴OD＝AC＝1，

在Rt△ACB中，AB＝，AC＝1，由勾股定理得：BC＝＝3，

∵OD⊥BC，OD過O，

∴BD＝DC＝BC＝＝1.5，

在Rt△ODB中，由勾股定理得：OB＝，

即⊙O的半徑是．