Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB．
(1)試說明：AD⊥DC；
(2)若AD＝1，AC＝，求AB的長．

Answer 1

(1)說明見解析；（2）．

試題分析：（1）連接OC，根據CD與⊙O相切，所以OC⊥CD，再由OA=OC，得出∠2=∠3，根據AC平分∠DAB，則∠2=∠1，等量代換得出∠3=∠1，從而得出AD∥OC，所以∠ADC=∠OCE=90°，即AD⊥DC．
（2）連接BC．根據AB是⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，由（1）得出∠2=∠1，則△ACD∽△ABC，從而得出，即AC²=AD•AB，得出AB即可．
（1）連接OC，

∵CD與⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∴∠OCE=90°，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠2=∠1，
∴∠3=∠1，
∴AD∥OC，
∴∠ADC=∠OCE=90°，
∴AD⊥DC．
（2）連接BC．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°=∠ADC，
∵∠3=∠1，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC²=AD•AB，
∴AB=（）²=．