Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點D，點O在AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓恰好經過點D，分別交AC，AB于點E，F． （Ⅰ）試判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（Ⅱ）若BD=2 ，BF=2，求陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）BC與⊙O相切． 證明：連接OD．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC過半徑OD的外端點D，
∴BC與⊙O相切．
（Ⅱ）設OF=OD=x，則OB=OF+BF=x+2，
根據勾股定理得：OB2=OD2+BD2 ， 即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD= OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形AOB= = ，
則陰影部分的面積為S△ODB﹣S扇形DOF= ×2×2 ﹣ =2 ﹣ ．
故陰影部分的面積為2 ﹣ ．

【解析】（Ⅰ）連接OD，證明OD∥AC，即可證得∠ODB=90°，從而證得BC是圓的切線； （Ⅱ）在直角三角形OBD中，設OF=OD=x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，求出圓心角的度數，直角三角形ODB的面積減去扇形DOF面積即可確定出陰影部分面積．