Question

觀察如圖所示的圖形，回答下列問題：
（1）圖中的點(diǎn)被線段隔開分成四層，則第一層有1個(gè)點(diǎn)，第二層有3個(gè)點(diǎn)，第三層有5個(gè)點(diǎn)，第四層有

 

個(gè)點(diǎn)；
（2）如果要你繼續(xù)畫下去，那么第五層有多少個(gè)點(diǎn)第n層呢？
（3）某一層上有77個(gè)點(diǎn)，你知道這是第幾層嗎？
（4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和是多少？前四層呢？你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（用含n的代數(shù)式表示）根據(jù)你的推測(cè)，前十二層的和是多少？
由觀察、猜想、歸納發(fā)現(xiàn)第一層有1個(gè)正方體，第二層有3個(gè)正方體，第三層有6個(gè)正方體，第四層有10個(gè)正方體，…，第n層有

1

2

×n（n+1）個(gè)正方體，于是，當(dāng)n=2004時(shí)，n（n+1）=

1

2

×2004×

1

2

（2004+1）=2 009 010，即第2004層有2 009 010個(gè)正方體．

Answer 1

分析：（1）和（2）：結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：第n層所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)正好是所對(duì)應(yīng)的奇數(shù)，即2n-1；
（3）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，列方程計(jì)算；
（4）首先正確計(jì)算出前面幾層的和，再根據(jù)得數(shù)和層數(shù)之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律，推而廣之．

解答：解：（1）第四層有7個(gè)點(diǎn)；

（2）如果要你繼續(xù)畫下去，那么第五層有9個(gè)點(diǎn)，第n層有2n-1個(gè)點(diǎn)；

（3）某一層上有77個(gè)點(diǎn)，即2n-1=77，解得：n=39，所以這是第39層；

（4）第一層與第二層的和是4．前三層的和是9．前四層的和是16．前n層的和是n²，前十二層的和是144．

點(diǎn)評(píng)：此題要能夠結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)每層的點(diǎn)數(shù)的規(guī)律：第n層的點(diǎn)數(shù)是對(duì)應(yīng)的奇數(shù)2n-1．前n層的點(diǎn)數(shù)和是1+3+…+2n-1=n²．