Question

【題目】如圖所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)．點(diǎn)D從C出發(fā)，沿線段CO以1個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作OC的垂線交BC于點(diǎn)E，作EF∥OC，交拋物線于點(diǎn)F．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）小明在探究點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，EF長(zhǎng)度可看作O；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)O重合時(shí)，EF長(zhǎng)度也可以看作O，于是他猜想：設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到OC中點(diǎn)位置時(shí)，當(dāng)線段EF最長(zhǎng)，你認(rèn)為他猜想是否正確，為什么？

（3）連接CF、DF，請(qǐng)直接寫(xiě)出△CDF為等腰三角形時(shí)所有t的值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)時(shí)，線段EF最長(zhǎng)（3）當(dāng)t=2或或3時(shí)，△CDF為等腰三角形

【解析】

（1）由于已知拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，則設(shè)交點(diǎn)式y=a（x+1）（x-3），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再設(shè)E（t，-t+3），接著表示出D（0，-t+3），F(xiàn)（t，-t2+2t+3），然后用t表示出EF的長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定EF最大時(shí)的t的值，從而判斷點(diǎn)D是否為OC的中點(diǎn)；
（3）先由C（0，3），D（0，-t+3），F(xiàn)（t，-t2+2t+3）和利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出CD2，CF2，DF2，然后分類討論：當(dāng)CD=CF或FC=FD或DC=DF時(shí)得到關(guān)于t的方程，接著分別解關(guān)于t的方程即可．

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得a1（﹣3）=3，解得a=﹣1，

所以拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3；

（2）他猜想正確．理由如下：

設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，

把C（0，3），B（3，0）代入得 ，解得，則直線BC的解析式為y=﹣x+3，

設(shè)E（t，﹣t+3），則D（0，﹣t+3），F(xiàn)（t，﹣t2+2t+3），

所以EF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，

當(dāng)t=時(shí)，EF最大，最大值為，

此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），

所以點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)時(shí)，線段EF最長(zhǎng)；

（3）∵C（0，3），D（0，﹣t+3），F(xiàn)（t，﹣t2+2t+3），

∴CD2=（﹣t+3﹣3）2=t2 ， CF2=t2+（﹣t2+2t+3﹣3）2=t2+（﹣t2+2t）2 ， DF2=t2+（﹣t2+2t+3+t﹣3）2=t2+（﹣t2+3t）2 ，

當(dāng)CD=CF時(shí)，即t2=t2+（﹣t2+2t）2 ， 解得t1=0，t2=2；

當(dāng)FC=FD，即t2+（﹣t2+2t）2=t2+（﹣t2+3t）2 ， 解得t1=0，t2=；

當(dāng)DC=DF時(shí)，即t2=t2+（﹣t2+3t）2 ， 解得t1=0，t2=3；

綜上所述，當(dāng)t=2或或3時(shí)，△CDF為等腰三角形．