Question

已知：如圖所示，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊AC于點D，且過點D的切線DE平分邊BC。
（1）BC與⊙O是否相切？請說明理由；
（2）當△ABC滿足什么條件時，以點O，B，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形？并說明理由。

Answer 1

解：（1）BC與⊙O相切，理由：連接OD、BD，
∵DE切⊙O于D，AB為直徑，
∴∠EDO=∠ADB=90°，
又DE平分CB，
∴DE=BC=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
又∠ODB=∠OBD，∠ODB+∠EDB=90°，
∴∠OBD+∠DBE=90°，
即∠ABC=90°，
∴BC與⊙O相切；
（2）當△ABC為等腰直角三角形（∠ABC=90°）時，四邊形OBED是平行四邊形，
∵△ABC是等腰直角三角形（∠ABC=90°），
∴AB=BC，
∵BD⊥AC于D，
∴D為AC中點．
∴OD=BC=BE，OD//BC，
∴四邊形OBED是平行四邊形。