Question

（2013•杭州一模）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，邊長為2

3

的等邊△ABC隨著頂點A在拋物線y=x2-2

3

x上運動而運動，且始終有BC∥x軸．
（1）當頂點A運動至與原點重合時，頂點C是否在該拋物線上？
（2）△ABC在運動過程中有可能被x軸分成兩部分，當上下兩部分的面積之比為1：8（即S_上部分：S_下部分=1：8）時，求頂點A的坐標；
（3）△ABC在運動過程中，當頂點B落在坐標軸上時，直接寫出頂點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）當頂點A運動至與原點重合時，設BC與y軸交于點D，如圖所示．由等邊三角形的性質可以求出AD的值，從而求出C的坐標．
（2）過點A作AD⊥BC于點D，設出A點的坐標，由條件表示出AD的值，再由三角函數求出AD的值，從而建立等量關系就可以求出A的坐標．
（3）B點在坐標軸上有兩種情況如圖，當B點在x軸上時，則A的縱坐標為3，代入拋物線的解析式求出A的橫坐標就可以求出C的坐標；當B點y軸上時，可以求出A點的橫坐標

3

，代入拋物線的解析式可以求出A點的縱坐標，從而求出C點的坐標．

解答：解：（1）當頂點A運動至與原點重合時，設BC與
y軸交于點D，如圖所示．
∵BC∥x軸，BC=AC=2

3

，
∴CD=

3

，AD=3．
∴C點的坐標為(

3

 ， -3)． 

∵當x=

3

時，y=(

3

)2-2

3

×

3

=-3．
∴當頂點A運動至與原點重合時，頂點C在拋物線上．

（2）過點A作AD⊥BC于點D，
設點A的坐標為（x，x2-2

3

x）．
∵BC∥x軸，
∴x軸上部分的三角形∽△ABC．
∵S_上部分：S_下部分=1：8，
∴S_上部分：S_△ABC=1：9，
∴AD=3(x2-2

3

x)．
∵等邊△ABC的邊長為2

3

，
∴AD=AC•sin60°=3．
∴3(x2-2

3

x)=3．
∴x2-2

3

x-1=0．
解方程，得 x=

3

±2．
∴頂點A的坐標為(

3

+2 ， 1)或(

3

-2 ， 1)．


（3）當頂點B落在x軸時，則A點縱坐標為3，
∴3=x2-2

3

x，
∴x=

3

-

6

或

3

+

6

．
∴頂點C的坐標為（2

3

-

6

，0）、（2

3

+

6

，0）、
當頂點B落在y軸時，則A點橫坐標為

3

，
∴y=x2-2

3

x=-3，
∴頂點C的坐標為（2

3

，-6），
∴頂點C的坐標為(2

3

-

6

 ， 0)、(2

3

+

6

 ， 0)、(2

3

 ， -6)．　

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了點的坐標，三角形的面積，等邊三角形的性質．相似三角形的判定及性質．