Question

【題目】二次函數y＝ax2﹣2x+c的圖象與x軸交于A、C兩點，點C（3，0），與y軸交于點B（0，﹣3）．

（1）a＝　 　，c＝　 　；

（2）如圖1，P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，求PD+PC的最小值；

（3）如圖2，點M在拋物線上，若S△MBC＝3，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a＝1，c＝﹣3；（2）4；（3）M的坐標為∴M1（，），M2（，），M3（1．﹣4），M4（2，﹣3）．

【解析】

（1）利用待定系數法把問題轉化為方程組即可求出答案；

（2）如圖1中，作PH⊥BC于H．由DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），根據垂線段最短可知，當D、P、H共線時DP+PC最小，最小值為DH′；

（3）如圖2中，取點E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝．由S△EBC＝BCEG＝3＝3，推出過點E作BC的平行線交拋物線于M1，M2，則,，求出直線M1M2的解析式，利用方程組即可解決問題，同法求出M3，M4的坐標．

（1）把C（3，0），B（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c

得到， ，解得 ．

故答案為1，﹣3．

（2）如圖1中，作PH⊥BC于H．

∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，

∴∠PCH＝45°，

在Rt△PCH中，PH＝PC．

∵DP+PC＝（PD+PC）＝（PD+PH），

根據垂線段最短可知，當D、P、H共線時DP+PC最小，最小值為DH′，

在Rt△DH′B中，∵BD＝4，∠DBH′＝45°，

∴DH′＝BD＝2，

∴DP+PC的最小值為2＝4．

（3）如圖2中，取點E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG＝．

∵S△EBC＝BCEG＝3＝3，

∴過點E作BC的平行線交拋物線于M1，M2，則,，

∵直線BC的解析式為y＝x﹣3，

∴直線M1M2的解析式為y＝x﹣1，

由 解得 或 ，

∴M1 ，M2，

根據對稱性可知，直線M1M2關于直線BC的對稱的直線與拋物線的交點M3、M4也滿足條件，

易知直線M3M4的解析式為y＝x﹣5，

由解得 或，

∴M3（1．﹣4），M4（2，﹣3），

綜上所述，滿足條件的點M的坐標為∴M1（，），M2（，），M3（1．﹣4），M4（2，﹣3）．