Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線過點，，與軸交于點.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點在拋物線的對稱軸上，求的周長的最小值；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是直角三角形？若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2（2）△ACD的周長的最小值是2+2（3）存在，點P的坐標為（1，1）或（1，﹣3）

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求拋物線的函數表達式；

（2）由軸對稱的最短路徑得：因為B與C關于對稱軸對稱，所以連接AB交對稱軸于點D，此時△ACD的周長最小，利用勾股定理求其三邊相加即可；

（3）存在，當A和C分別為直角頂點時，畫出直角三角形，設P（1，y），根據三角形相似列比例式可得P的坐標．

試題解析：（1）把點A（﹣2，0），B（2，2）代入拋物線y=ax2+bx+2中，

，

解得： ，

∴拋物線函數表達式為：y=﹣x2+x+2；

（2）y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣1）2+；

∴對稱軸是：直線x=1，

如圖1，過B作BE⊥x軸于E，

∵C（0，2），B（2，2），對稱軸是：x=1，

∴C與B關于x=1對稱，

∴CD=BD，

連接AB交對稱軸于點D，此時△ACD的周長最小，

∵BE=2，AE=2+2=4，OC=2，OA=2，

∴AB==2，

AC==2，

∴△ACD的周長=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+AB=2+2；

答：△ACD的周長的最小值是2+2，

（3）存在，

分兩種情況：

① 當∠ACP=90°時，△ACP是直角三角形，如圖2，

過P作PD⊥y軸于D，

設P（1，y），

則△CGP∽△AOC，

∴，

∴=，

∴CG=1，

∴OG=2﹣1=1，

∴P（1，1）；

② 當∠CAP=90°時，△ACP是直角三角形，如圖3，

設P（1，y），

則△PEA∽△AOC，

∴ ，

∴，

∴PE=3，

∴P（1，﹣3）；

綜上所述，△ACP是直角三角形時，點P的坐標為（1，1）或（1，﹣3）．