Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，現在有一足夠大的直角三角板，它的直角頂點D是BC上一點，另兩條直角邊分別交AB、AC于點E、F．

（1）如圖1，若DE⊥AB，DF⊥AC，求證：四邊形AEDF是矩形；

（2）在（1）條件下，若點D在∠BAC的 角平分線上，試判斷此時四邊形AEDF的形狀，并說明理由；

（3）若點D在∠BAC的角平分線上，將直角三角板繞點D旋轉一定的角度，使得直角三角板的兩條邊與兩條直角邊分別交于點E、F（如圖2），試證明AE+AF=AD．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD=90°，

∵∠BAC=90°，

∴四邊形AEDF是矩形；

（2）四邊形AEDF是正方形，

理由：∵點D在∠BAC的 角平分線上，DE⊥AB，BF⊥AC，

∴DE=DF，

∴矩形AEDF是正方形；

（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∴∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，

∵點D在∠BAC的 角平分線上，

∴DM=DN，

∴四邊形AMDN是正方形，

∴AM=DM=DN=AN，∠MDN=∠AMD=90°，

∴∠MDF+∠NDF=90°，

∵∠EDF=90°，

∴∠MDF+∠EDM=90°，

∴∠NDF=∠EDM，

在△EMD與△END中，，

∴△EMD≌△END，

∴EM=FN，

∵∠AMD=90°，

∴AM2+DM2=AD2，

∴AD=AM，

∵AM=（AM+AN）=（AE+AF），

∴AD=×（AE+AF），

∴AE+AF=AD．