Question

教材第九章中探索乘法公式時，設置由圖形面積的不同表示方法驗證了乘法公式．我國著名的數學家趙爽，早在公元3世紀，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形（如圖1），這個圖形稱為趙爽弦圖，驗證了一個非常重要的結論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關系式a²+b²=c²，稱為勾股定理．

（1）愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形（如圖2），也能驗證這個結論，請你幫助小明完成驗證的過程．
（2）小明又把這四個全等的直角三角形拼成了一個梯形（如圖3），利用上面探究所得結論，求當a=3，b=4時梯形ABCD的周長．（3）如圖4，在每個小正方形邊長為1的方格紙中，△ABC的頂點都在方格紙格點上．請在圖中畫出△ABC的高BD，利用上面的結論，求高BD的長．

Answer 1

分析：（1）根據四個全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積=大正方形的面積，代入數值，即可證明；
（2）由（1）中結論先求出c的值，再根據周長公式即可得出梯形ABCD的周長；
（3）先根據高的定義畫出BD，由（1）中結論求出AC的長，再根據△ABC的面積不變列式，即可求出高BD的長．

解答：（1）證明：由圖得，

1

2

×ab×4+c²=（a+b）×（a+b），
整理得，2ab+c²=a²+b²+2ab，
即a²+b²=c²；

（2）解：∵a=3，b=4，
∴c=

a2+b2

=5，
梯形ABCD的周長為：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22；

（3）解：如圖，BD是△ABC的高．
∵S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

AB×3，AC=

42+32

=5，
∴BD=

3AB

AC

=

3×3

5

=

9

5

．

點評：本題考查了用數形結合來證明勾股定理，勾股定理的應用，梯形的周長，三角形的高與面積，鍛煉了同學們的數形結合的思想方法．