Question

教材第九章中探索乘法公式時，設置由圖形面積的不同表示方法驗證了乘法公式．我國著名的數學家趙爽，早在公元3世紀，就把一個矩形分成四個全等的直角三角形，用四個全等的直角三角形拼成了一個大的正方形（如圖①），這個圖形稱為趙爽弦圖，驗證了一個非常重要的結論：在直角三角形中兩直角邊、與斜邊滿足關系式，稱為勾股定理．

（1）愛動腦筋的小明把這四個全等的直角三角形拼成了另一個大的正方形（如圖②），也能驗證這個結論，請你幫助小明完成驗證的過程．

（2）小明又把這四個全等的直角三角形拼成了一個梯形（如圖③），利用上面探究所得結論，求當=3，=4時梯形ABCD的周長．

(3) 如下圖，在每個小正方形邊長為1的方格紙中，△ABC的頂點都在方格紙格點上．請在圖中畫出△ABC的高BD，利用上面的結論，求高BD的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據題意，我們可在圖中找等量關系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式；（2）；（3）作出高BD如下圖，BD=

【解析】

試題分析：（1）根據題意，我們可在圖中找等量關系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達式；

（2）先根據勾股定理求得腰的長，即可求得周長；

（3）先作出高BD，再根據等面積法求解即可.

（1）∵大正方形面積為c²，直角三角形面積為ab，小正方形面積為：（b-a）²，

即；

（2）由圖可得梯形ABCD的周長；

（3）作出高BD如圖所示：

由圖可得，解得.

考點：勾股定理的證明，三角形的面積公式

點評：此類題目通常利用同一個圖形的面積的兩種不同表示方法列式整理，圖案設計可以靈活多樣．