Question

【題目】如圖1，已知直線y=mx分別與雙曲線y=，y=（x＞0）交于P，Q兩點，且OP=2OQ．

（1）求k的值；

（2）如圖2，若A是雙曲線y=上的動點，AB∥x軸，AC∥y軸，分別交雙曲線y=（x＞0）于B，C兩點，連接BC，設A點的橫坐標為t．

①分別寫出A，B，C的坐標，并求△ABC的面積；

②當m=2時，D為直線y=2x上的一點，若以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，求A點坐標．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①；②（2，4）或（2，）或（，4）

【解析】

（1）設Q點坐標為（a，b），則P點的坐標為（2a，2b）．分別代入反比例函數解析式即可求出k的值；

（2）①用含t的代數式表示出點A、點B、點C的坐標，然后根據三角形的面積公式求解即可；②分兩種情況考慮：（i）當AC為邊時，然后根據平行四邊形的性質求解即可.

（1）設Q點坐標為（a，b），則P點的坐標為（2a，2b）．

∵P點在雙曲線y=上，Q點在雙曲線y=上，

∴2a2b=8，∴k=ab=2．

（2）①∵A點的橫坐標為t，AB∥x軸，AC∥y軸，

∴A點坐標為（t，），C點坐標為（t，），B點坐標為（，），

∴AC=–=，AB=t–=，

∴S△ABC=ACAB=××=．

②分兩種情況考慮：

（i）當AC為邊時，如圖1所示．

∵四邊形ADBC為平行四邊形，∴AC=BD，AC∥BD，

∴D點的坐標為（，），

∴BD=|–|=，即=或=，

解得：t1=2，t2=–2（舍去），t3=2，t4=–2（舍去），

∴A點的坐標為（2，4）或（2，）；

（ii）當AC為對角線時，如圖2所示．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，∴D點的坐標為（，），

∴CD=|–t|=，即=或=，

解得：t1=，t2=–（舍去），t3=2，t4=–2（舍去），

∴A點坐標為（，4）或（2，4）．

綜上所述，點A的坐標為（2，4）或（2，）或（，4）