Question

【題目】 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在邊BC上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點A，過點A作直線AD，使∠CAD=2∠B．

（1）判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若OB=4，∠CAD=60°，請直接寫出圖中弦AB與圍成的陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）直線AD與⊙O的位置關系是相切，理由見解析；（2）-4

【解析】

（1）連接OA，根據等腰三角形的性質得到∠OAB=∠B，求得∠CAD=∠COA，推出OA⊥AD，于是得到結論；

（2）根據鄰補角的定義得到∠AOB=120°，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．

解：（1）直線AD與⊙O的位置關系是相切，

理由：連接OA，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠B，

∴∠COA=2∠B，

∵∠CAD=2∠B，

∴∠CAD=∠COA，

∵∠C=90°，

∴∠COA+∠OAC=90°，

∴∠CAO＋∠CAD=90°，

∴∠OAD=90°，

∴OA⊥AD，

∴直線AD與⊙O相切；

（2）∵∠CAD=60°，

∴∠COA=∠CAD=60°，

∴∠AOB=120°，

∴∠B=∠OAB=30°，

∵OB=4

∴OA=OB=4

在Rt△OAC中，AC=OA·sin∠COA=2

∴陰影部分的面積=S扇形AOB-S△AOB=-OB·AC=-4．