Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y=ax2+ x+c經過B、C兩點，點E是直線BC上方拋物線上的一動點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）過點E作y軸的平行線交直線BC于點M、交x軸于點F，當S△BEC= 時，請求出點E和點M的坐標；
（3）在（2）的條件下，當E點的橫坐標為1時，在EM上是否存在點N，使得△CMN和△CBE相似？如果存在，請直接寫出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，

∴點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（3，0），

∵y=ax2+ x+c經過B、C兩點，

∴ ，解得： ，

∴y=﹣ x2+ x+3．

（2）

解：如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，

∴設點E的坐標是（x，﹣ x2+ x+3），

則點M的坐標是（x，﹣x+3），

∴EM=﹣ x2+ x+3﹣（﹣x+3）=﹣ x2+ x，

∴S△BEC=S△BEM+S△MEC= EMOC= ×（﹣ x2+ x）×3=﹣ x2+ x，

∴﹣ x2+ x= ，

解得，x1=1，x2=2，

即點E的坐標是（1，3）或（2，2），

此時對應的M的坐標是（1，2）或（2，1）．

（3）

解：存在．

∵B（0，3）、E（1，3），

∴BE=1，且BE∥OC，

由（1）知OB=OC=3，

∴∠BCO=∠CBE=∠CMN=45°，

∴CB=3 ，CM=2 ，

①當 = 時，△CMN∽△CBE，

即 = ，得MN= ，

∴FN= ，

∴N（1， ）；

②當 = 時，△CMN∽△EBC，

即 = ，得MN=12，

∴FN=﹣10，

N′（1，﹣10），

∴在EM上存在符合條件的點N，其坐標為（1， ）或（1，﹣10）．

【解析】（1）由直線y=﹣x+3求得點B、C坐標，代入拋物線解析式求得b、c即可得；（2）設E（x，﹣ x2+ x+3），則M（x，﹣x+3），可知EM=﹣ x2+ x，根據S△BEC=S△BEM+S△MEC= EMOC= 列出關于x的方程，解之可得答案；（3）由題意得出∠BCO=∠CBE=∠CMN=45°、BE=1、CB=3 、CM=2 ，根據 = 和 = 分別求出MN即可得．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．