Question

【題目】我們知道，直線與圓有三種位置關系：相交、相切、相離.類比直線與圓的位置關系，給出如下定義：與坐標軸不平行的直線與拋物線有兩個公共點叫做直線與拋物線相交；直線與拋物線有唯一的公共點叫做直線與拋物線相切，這個公共點叫做切點；直線與拋物線沒有公共點叫做直線與拋物線相離.

(1)記一次函數的圖像為直線，二次函數的圖像為拋物線，若直線與拋物線相交，求的取值范圍；

(2)若二次函數的圖像與軸交于點、，與軸交于點，直線l與CB平行，并且與該二次函數的圖像相切，求切點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將一次函數解析式代入二次函數解析式中可得出關于x的一元二次方程，由直線與拋物線相交可得出關于b的一元一次不等式，解之即可得出b的取值范圍；

（2）利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出點B，C的坐標，利用待定系數法可求出直線BC的解析式，設直線l的解析式為y=x+a，將一次函數解析式代入二次函數解析式中可得出關于x的一元二次方程，由直線與拋物線相切可得出關于a的一元一次方程，解之可得出a的值，解方程組即可求出點P的坐標．

（1）將y=2x+b代入y=x2，整理得：x2﹣2x﹣b=0．

∵直線l與拋物線C相交，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣b）＞0，解得：b＞﹣1．

（2）當x=0時，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，∴點C的坐標為（0，﹣3）；

當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴點A的坐標為（﹣1，0），點B的坐標為（3，0）．

設直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），將B（3，0），C（0，﹣3）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣3．

設直線l的解析式為y=x+a．

將y=x+a代入y=x2﹣2x﹣3，整理得：x2﹣3x﹣（3+a）=0．

∵直線l與二次函數y=x2﹣2x﹣3的圖象相切，∴△=（﹣3）2﹣4×1×[﹣（3+a）]=0，解得：a．

當a時，解方程組 ，得：，∴點P的坐標為（）．