Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=4，P是CD邊上的動點（P點不與C、D重合），過點P作直線與BC的延長線交于點E，與AD交于點F，且CP=CE，連接DE、BP、BF，設CP=x，△PBF的面積為S1，△PDE的面積為S2

（1）求證：BP⊥DE；

（2）求S1﹣S2關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）當∠PBF=30°時，求S1﹣S2的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）S1﹣S2=8﹣2x（0＜x＜4）；（3）S1﹣S2=8﹣2x=8﹣.

【解析】

（1）如圖1中，延長BP交DE于M．只要證明△BCP≌△DCE，推出∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°，延長即可解決問題；

（2）根據S1-S2=S△PBF-S△PDE計算即可解決問題；

（3）先求出PC的長，再利用（2）中結論計算即可；

（1）如圖1中，延長BP交DE于M．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，

∵CP=CE，

∴△BCP≌△DCE，

∴∠BCP=∠CDE，

∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，

∴∠CDE+∠DPM=90°，

∴∠DMP=90°，

∴BP⊥DE．

（2）由題意S1﹣S2=[16﹣2x﹣2x﹣（4﹣x）2]﹣（4﹣x）x

=8﹣2x（0＜x＜4）．

（3）如圖2中，

∵∠PBF=30°，

∵CP=CE，∠DCE=90°，

∴∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，

∴∠PFD=∠DPF=45°，

∴DF=DP，∵AD=CD，

∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，

∴△BAF≌△BCP，

∴∠ABF=∠CBP=30°，

∴x=PC=BCtan30°=，

∴S1﹣S2=8﹣2x=8﹣