Question

如圖，開口向下的拋物線y=ax²-8ax+12a與x軸交于A、B兩點，拋物線上另有一點C在第一象限，且使△OCA∽△OBC，
（1）求OC的長及

BC

AC

的值；
（2）設直線BC與y軸交于P點，點C是BP的中點時，求直線BP和拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的解析式即可求出A、B的坐標，也就得出了OA、OB的長，根據題中給出的相似三角形得出的比例線段可求出OC的長．已知了OA、OB的長即可得出三角形OBC和三角形OCA的面積比，而根據面積比等于相似比的平方即可得出BC與AC的比例關系．
（2）當C是BP中點是，OC就是直角三角形OBP的斜邊的中線，因此OC=BC，三角形OCB是等腰三角形，可過C作x軸的垂線通過構建直角三角形求出C點坐標，進而可得出直線BP的解析式，將C點坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．

解答：解：
（1）由題設知a＜0，
且方程ax²-8ax+12a=0有兩二根，
兩邊同時除以a得，x²-8x+12=0
原式可化為（x-2）（x-6）=0
x₁=2，x₂=6
于是OA=2，OB=6
∵△OCA∽△OBC
∴OC²=OA•OB=12即OC=2

3

而

OB

OA

=

OC

OA

=

2 3

2

=

3

，故

BC

AC

=

3

（2）因為C是BP的中點
∴OC=BC從而C點的橫坐標為3
又OC=2

3

∴C(3，

3

)
設直線BP的解析式為y=kx+b，
因其過點B（6，0），C(3，

3

)，
則有

0=6k+b 3 =3k+b

∴

k=- 3 3 b=2 3

∴y=-

3

3

x+2

3

又點C(3，

3

)在拋物線上
∴

3

=9a-24a+12a
∴a=-

3

3

∴拋物線解析式為：y=-

3

3

x2+

8 3

3

x-4

3

．

點評：本題考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點、相似三角形的性質等知識點．