Question

【題目】如圖1，AB是⊙O的直徑，E是AB延長線上一點，EC切⊙O于點C，OP⊥AO交AC于點P，交EC的延長線于點D．

（1）求證：△PCD是等腰三角形；

（2）CG⊥AB于H點，交⊙O于G點，過B點作BF∥EC，交⊙O于點F，交CG于Q點，連接AF，如圖2，若sinE=，CQ=5，求AF的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）12．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由切線性質和垂直性質得∠1+∠3=90°、∠2+∠4=90°，繼而可得∠3=∠5得證；

（2）連接OC、BC，先根據切線性質和平行線性質及垂直性質證∠BCG=∠QBC得QC=QB=5，而sinE=sin∠ABF=，可知QH=3、BH=4，設圓的半徑為r，在RT在△OCH中根據勾股定理可得r的值，在RT△ABF中根據三角函數可得答案．

試題解析：（1）連接OC，∵EC切⊙O于點C，∴OC⊥DE，∴∠1+∠3=90°，又∵OP⊥OA，∴∠2+∠4=90°，∵OA=OC，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，又∵∠4=∠5，∴∠3=∠5，∴DP=DC，即△PCD為等腰三角形；

（2）如圖2，連接OC、BC．∵DE與⊙O相切于點E，∴∠OCB+∠BCE=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC+∠BCE=90°，又∵CG⊥AB，∴∠OBC+∠BCG=90°，∴∠BCE=∠BCG，∵BF∥DE，∴∠BCE=∠QBC，∴∠BCG=∠QBC，∴QC=QB=5，∵BF∥DE，∴∠ABF=∠E，∵sinE=，∴sin∠ABF=，∴QH=3、BH=4，設⊙O的半徑為r，∴在△OCH中，，解得：r=10，又∵∠AFB=90°，sin∠ABF=，∴AF=12．