Question

(本題滿分12分) 如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

小題1:（1）求證：PC是⊙O的切線；
小題2:（2）求∠P的度數；
小題3:（3）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，AB=4，求線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積。

Answer 1

小題1:（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            
∴∠A=∠ACO=∠PCB     ……………………………………………………1分
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACO+∠OCB=90°       …………………………………………………2分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP    …………………………………………3分
∵OC是⊙O的半徑                    
∴PC是⊙O的切線
小題2:（2）∵PC="AC " ∴∠A=∠P

m

D

        ∴∠A=∠ACO=∠P         ………………5分

        ∵∠A＋∠ACO＋∠PCO＋∠P=180°
∴3∠P=90°                
∴∠P=30°
小題3:(3) ∵點M是半圓O的中點  ∴∠BCM=45°………7分
由（2）知∠BMC=∠A=∠P=30°∴BC=AB="2" ……8分
作BD⊥CM于D，∴CD=BD= ∴DM= 
∴CM=           …………………9分
∴S_△BCM=  ………………10分
∵∠BOC=2∠A=60°  ∴弓形BmC的面積= …………11分
∴線段BM、CM及弧BC所圍成的圖形面積為

略