Question

【題目】問題情境：如圖1，點D是△ABC外的一點，點E在BC邊的延長線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數量關系．

（1）特例探究：
如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝；

如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝；這兩個圖中，∠D與∠A度數的比是；

（2）猜想證明：
如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結論；若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）30°；50°；1：2
（2）解：成立.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠DCE，
∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，
∵∠DCE是△BCD的外角，
∴∠DCE＝∠DBC＋∠D，
∵2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），
∴∠D＝ ∠A，即∠D：∠A＝1:2
【解析】解：(1)、30；50；1：2； (1）①根據角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC=30°，∠ACD=∠DCE=60°，根據三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ,從而得出∠D=30° ;②根據等腰三角形的性質得出∠ABC=40° ,根據角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC=20°,根據三角形的外角定理得出∠ACE=∠A＋∠ABC＝140° ,∠ACD=∠DCE=70° ,根據三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D ,從而得出∠D=50° ;
(2）根據角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCE，根據三角形的外角定理得出∠ACE=∠ABC＋∠A， 即2∠DCE =2∠DBC+∠A，∠DCE＝∠DBC＋∠D，從而得出2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），即∠D：∠A＝1:2 。