Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且x1＜x2與y軸交于點C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的兩個根．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是線段AB上的一個動點，過點M作MN∥BC，交AC于點N，連結CM，當△CMN的面積最大時，求點M的坐標；

（3）點D（4，k）在（1）中拋物線上，點E為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點F，使以A、D、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4；（2）點M的坐標為（2，0）；（3）F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2，0），F4（8+2，0）．

【解析】試題分析：（1）根據一元二次方程解法得出A，B兩點的坐標，再利用交點式求出二次函數解析式；
（2）首先判定△MNA∽△BCA．得出，進而得出函數的最值；
（3）分別根據當AF為平行四邊形的邊時，AF平行且等于DE與當AF為平行四邊形的對角線時，分析得出符合要求的答案．

試題解析：（1）∵x2﹣4x﹣12=0，

∴x1=﹣2，x2=6．

∴A（﹣2，0），B（6，0），

又∵拋物線過點A、B、C，故設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣6），

將點C的坐標代入，求得a=，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4；

（2）設點M的坐標為（m，0），過點N作NH⊥x軸于點H（如圖（1））．

∵點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（6，0），

∴AB=8，AM=m+2，

∵MN∥BC，

∴△MNA∽△BCA．

∴=，

∴=，

∴NH=，

∴S△CMN=S△ACM﹣S△AMN=AMCO﹣AMNH，

=m+2）（4﹣）=﹣m2+m+3，

=﹣（m﹣2）2+4．

∴當m=2時，S△CMN有最大值4．

此時，點M的坐標為（2，0）；

（3）∵點D（4，k）在拋物線y=x2﹣x﹣4上，

∴當x=4時，k=﹣4，

∴點D的坐標是（4，﹣4）．

①如圖（2），當AF為平行四邊形的邊時，AF平行且等于DE，

∵D（4，﹣4），

∴DE=4．

∴F1（﹣6，0），F2（2，0），

②如圖（3），當AF為平行四邊形的對角線時，設F（n，0），

∵點A的坐標為（﹣2，0），

則平行四邊形的對稱中心的橫坐標為：，

∴平行四邊形的對稱中心坐標為（，0），

∵D（4，﹣4），

∴E'的橫坐標為：﹣4+=n﹣6，

E'的縱坐標為：4，

∴E'的坐標為（n﹣6，4）．

把E'（n﹣6，4）代入y=x2﹣x﹣4，得n2﹣16n+36=0．

解得n=8±2．F3（8﹣2，0），F4（8+2，0），

綜上所述F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2，0），F4（8+2，0）．