Question

【題目】如圖（1），為直線上點，過點作射線，，將一直角三角尺()的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．

（1）若將圖（1）中的三角尺繞點以每秒的速度，沿順時針方向旋轉秒，當恰好平分時，如圖（2）．

①求值；

②試說明此時平分；

（2）將圖（1）中的三角尺繞點順時針旋轉，設，， 當在內部時，試求與的數量關系；

（3）若將圖（1）中的三角尺繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉，如圖（3），那么經過多長時間，射線第一次平分？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①t=3s；②證明見解析；（2）β=α+60°；（3）經過5秒OC平分∠MON．

【解析】

（1）①根據角平分線的定義計算即可；
②求出∠AON，∠CON的值即可判斷；
（2）根據題意列方程即可得到結論；
（3）設∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，根據∠AOC-∠AON=∠CON，構建方程即可解決問題．

解：（1）①如圖2中，∵∠AOC=30°，

∴∠BOC=180°-∠AOC=150°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠COM=∠BOM=∠BOC=75°，

∠AON=180°-90°-75°=15°，

∴t==3s，

②當t=3時，∠AON=3t=15°，∠CON=30°-3t=15°，

∴∠AON=∠CON，

∴ON平分∠AOC；

（2）∵∠CON=30°-α=90°-β，

∴β=α+60°；

（3）∵OC平分∠MON，∠MON=90°，

∴∠CON=∠COM=45°，

∵三角板繞點O以每秒5°的速度，射線OC也繞O點以每秒8°的速度沿順時針方向旋轉一周，

∴設∠AON=5t，∠AOC=30°+8t，

∵∠AOC-∠AON=∠CON，

∴30°+8t-5t=45°，

解得t=5，

∴經過5秒OC平分∠MON．