Question

17．如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），DP交AC于點Q．
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）當PD⊥AC時，求線段PA的長度；
（3）當點P在線段AC的垂直平分線上時，求sin∠CPB的值．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質和相似三角形的判定定理證明即可；
（2）根據垂直的定義、相似三角形的性質列出比例式，計算即可；
（3）連接PC，根據線段垂直平分線的性質得到PC=PA，設PA=x，根據勾股定理列出關于x的方程，解方程即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，
∴∠QAP=∠QCD，∠QPA=∠QDC，
∴△APQ∽△CDQ；
（2）解：∵PD⊥AC，
∴∠QDC+∠QCD=90°，又∠QDC+∠QDA=90°，
∴∠QCD=∠QDA，又∠DAP=∠CDA=90°，
∴△DAP∽△CDA，
∴$\frac{AP}{AD}$=$\frac{AD}{DC}$，即$\frac{AP}{5}$=$\frac{5}{10}$，
解得，AP=$\frac{5}{2}$；
（3）解：連接PC，
∵點P在線段AC的垂直平分線上，
∴PC=PA，
設PA=x，則PC=x，PB=10-x，
由勾股定理得，PC²=PB²+BC²，即x²=（10-x）²+25，
解得，x=$\frac{25}{4}$，
∴PC=PA=$\frac{25}{4}$，
∴sin∠CPB=$\frac{BC}{PC}$=$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質、矩形的性質、線段垂直平分線的性質以及銳角三角函數的定義，掌握相關的定理、性質、定義是解題的關鍵．