Question

如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連結PC，過點P作PE⊥PC交AB于E．

（1）證明△PAE∽△CDP；
（2）當點P在AD上運動時，對應的點E也隨之在AB上運動，設AP＝x，BE＝y，求y與x的函數關系式及y的取值范圍；
（3）在線段AD上是否存在不同于P的點Q，使得QC⊥QE？若存在，求線段AP與AQ之間的數量關系；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2），y＜2；（3）存在，AP+AQ=3，理由見解析.

試題分析：（1）利用矩形的性質可以得到∠A=∠D，利用PE⊥PC可以得到∠APE=∠DCP，從而證明兩三角形相似；
（2）利用上題證得的三角形相似，列出比例式，進而得到兩個變量之間的函數關系；
（3）假設存在符合條件的Q點，由于PE⊥PC，且四邊形ABCD是矩形，易證得△APE∽△DCP，可得AP•PD=AE•CD，同理可通過△AQE∽△DCQ得到AQ•QD=AE•DC，則AP•PD=AQ•QD，分別用PD、QD表示出AP、AQ，將所得等式進行適當變形即可求得AP、AQ的數量關系．
試題解析：（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEP+∠APE=90°，
∵PE⊥PC，∴∠APE+∠CPD=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△PAE∽△CDP；
（2）（解法一）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y.           4分
∵△PAE∽△CDP，∴，                      5分
即，∴.                     6分
（解法二）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y.              4分
∵∠A=∠D=90°，∴tan∠AEP=, tan∠DPC=,
∵∠AEP=∠DPC，∴tan∠AEP= tan∠DPC. ∴=,
即，∴.
（解法三）∵AP＝x，BE＝y，∴DP＝3－x，AE＝2－y.
如圖1，連結CE, ∵∠A=∠B=∠D="90°,"

∴AE²+AP²=PE²,PD²+CD²=CP²,BE²+BC²=CE²,
又∵∠CPE=90°，∴PE²+CP²=CE²,
∴AE²+AP²+PD²+CD²=BE²+BC²,
即(2-y)²+x²+(3-x)²+2²=y²+3²,整理得：.
∵=，
∴當時，y有最小值，y的最小值為，
又∵點E在AB上運動(顯然點E與點A不重合),且AB＝2，
∴＜2
綜上所述，的取值范圍是≤＜2；
（3）存在，理由如下：
如圖2，假設存在這樣的點Q，使得QC⊥QE.

由（1）得：△PAE∽△CDP，
∴，
∴，
∵QC⊥QE，∠D＝90^°，
∴∠AQE＋∠DQC＝90^°,∠DQC＋∠DCQ＝90°，
∴∠AQE=∠DCQ.
又∵∠A=∠D=90°，
∴△QAE∽△CDQ，
∴，
∴
∴，
即，
∴，
∴，
∴.
∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.又∵AP≠AQ，∴AP≠，即P不能是AD的中點，
∴當P是AD的中點時，滿足條件的Q點不存在，
故當P不是AD的中點時，總存在這樣的點Q滿足條件，此時AP＋AQ＝3．
考點: 相似三與性質角形的判定；矩形的性質.