Question

【題目】如圖，點O為正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于點E，延長BC到點F，使FC=EC，連結DF交BE的延長線于點H，連結OH交DC于點G，連結HC．則以下四個結論中：①OH∥BF，②GH=BC，③BF=2OD，④∠CHF=45°．正確結論的個數為( )

A.4個B.3個C.2個D.1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

①只要證明OH是△DBF的中位線即可得出結論；

②根據OH是△BFD的中位線，得出GH=CF，由GH＜BC，可得出結論；

③易證得△ODH是等腰三角形，繼而證得OD=BF；

④根據四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線可求出Rt△BCE≌Rt△DCF，再由∠EBC=22.5°即可求出結論．

解：∵EC=CF，∠BCE=∠DCF，BC=DC，

∴△BCE≌△DCF，

∴∠CBE=∠CDF，

∵∠CBE+∠BEC=90°，∠BEC=∠DEH，

∴∠DEH+∠CDF=90°，

∴∠BHD=∠BHF=90°，

∵BH=BH，∠HBD=∠HBF，

∴△BHD≌△BHF，

∴DH=HF，∵OD=OB

∴OH是△DBF的中位線

∴OH∥BF；故①正確；

∴OH=BF，∠DOH=∠CBD=45°，

∵OH是△BFD的中位線，

∴DG=CG=BC，GH=CF，

∵CE=CF，

∴GH=CF=CE

∵CE＜CG=BC，

∴GH＜BC，故②錯誤．

∵四邊形ABCD是正方形，BE是∠DBC的平分線，

∴BC=CD，∠BCD=∠DCF，∠EBC=22.5°，

∵CE=CF，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（SAS），

∴∠EBC=∠CDF=22.5°，

∴∠BFH=90°-∠CDF=90°-22.5°=67.5°，

∵OH是△DBF的中位線，CD⊥AF，

∴OH是CD的垂直平分線，

∴DH=CH，

∴∠CDF=∠DCH=22.5°，

∴∠HCF=90°-∠DCH=90°-22.5°=67.5°，

∴∠CHF=180°-∠HCF-∠BFH=180°-67.5°-67.5°=45°，故④正確；

∴∠ODH=∠BDC+∠CDF=67.5°，
∴∠OHD=180°-∠ODH-∠DOH=67.5°，
∴∠ODH=∠OHD，
∴OD=OH=BF；故③正確．
故選：B．