Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AD平分∠BAC，過A，C，D三點的圓與斜邊AB交于點E，連接DE．

（1）求證：AC=AE；
（2）若AC=6，CB=8，求△ACD的外接圓的直徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠EAD，

∴ = ，

∴CD=ED

∵∠ACD=90°，

∴AD是⊙O的直徑，

∴ = ，

∴AC=AE

（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，

∴AB= =10，

BE=10﹣AE=10﹣6=4，

設CD=DE=x，

BD=8﹣x，

在Rt△BDE中．BD2=DE2+BE2

（8﹣x）2+x2=42

x=3，即BD=3，

在Rt△ACD中，AD= =3

【解析】（1）根據角平分線的性質、圓周角、弧、弦之間的關系得到 = ，證明結論；（2）根據勾股定理求出AB，設CD=DE=x，根據勾股定理列出方程，求出x，計算即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解三角形的外接圓與外心(過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心)．