Question

【題目】在中，，，是線段上的點，是線段上的點，且．

（1）觀察猜想

如圖1，若點是線段的三等分點，則__________，___________．由此，我們猜想線段，，，之間滿足的數量關系是_________．

（2）類比探究

將在平面內繞點按逆時針方向旋轉一定的角度，連接，，，，猜想在旋轉的過程中，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請說明理由．

（3）解決問題

將在平面內繞點自由旋轉，若，請直接寫出線段的最大值．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）成立，證明詳見解析；（3）的最大值為．

【解析】

（1）根據三等分的定義求出比值即可，利用相似三角形的性質解決問題；

（2）證明△AMD∽△ANE，△ABD∽△ACE，利用相似三角形的性質解決問題即可；

（3）由（2）可知，求線段的最大值，即為求線段的最大值.

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴；

（2）成立，證明如下：

由（1）可知，，且，，

∴，，，

∴，，

∴，，

又∵，

∴，

∴；

∴；

（3）由（2）可知，

∴求線段的最大值，即為求線段的最大值，

由題意，可得，

在中，由三角形的三邊關系，可得，

∴當點共線時，，即線段的最大值為2，

∵，

把代入得，

∴線段的最大值為．