Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），與y軸交于點B，在x軸上有一動點E（m，0）（0＜m＜4），過點E作x軸的垂線交直線AB于點N，交拋物線于點P，過點P作PM⊥AB于點M．

（1）求拋物線的解析式和直線AB的函數表達式；

（2）設△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若＝，求m的值．

Answer 1

【答案】（1） ， （2）m=2

【解析】

（1）令y＝0，求出拋物線與x軸交點，列出方程即可求出a，即可得出拋物線解析式，根據待定系數法可以確定直線AB解析式；

（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解決問題．

解：（1）令y＝0，則ax2＋（a＋3）x＋3＝0，

∴（x＋1）（ax＋3）＝0，

∴x＝1或，

∵拋物線y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）與x軸交于點A（4，0），

∴＝4，

∴a＝，

∴拋物線解析式為：；

∵A（4，0），B（0，3），

設直線AB解析式為y＝kx＋b，則，

解得，

∴直線AB解析式為；

（2）如圖1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN＝∠AEN，

∵∠PNM＝∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，

∴，

∵NE∥OB，

∴，

∴AN＝（4m），

∵拋物線解析式為，

∴PN＝m2＋m＋3（m＋3）＝m2＋3m，

∴，

解得m＝2．