Question

【題目】如圖，一次函數y＝﹣x+3的圖象與反比例函數y＝（k≠0）在第一象限的圖象交于A(1，a)和B兩點，與x軸交于點C．

（1）求反比例函數的解析式及點A的坐標；

（2）若點P為x軸上一點，且滿足△ACP是等腰三角形，請直接寫出符合條件的所有點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝，(1，2)；（2） (﹣1，0)或(3﹣2，0)或(3+2，0)或(1，0)

【解析】

（1）利用點A在y＝﹣x+3上求a，進而代入反比例函數y＝（k≠0）求k即可；

（2）根據已知條件得到C（3，0），根據兩點間的距離公式得到AC＝，過A作AD⊥x軸于D，當AP＝AC時，當AC＝CP＝2時，當AP＝CP時，根據等腰三角形的性質即可得到結論．

解：（1）把點A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，

∴A（1，2）

把A（1，2）代入反比例函數y＝，

∴k＝1×2＝2；

∴反比例函數的表達式為y＝；

（2）∵一次函數y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點C，

∴C（3，0），

∵A（1，2），

∴AC＝，

過A作AD⊥x軸于D，

∴OD＝1，CD＝AD＝2，

當AP＝AC時，PD＝CD＝2，

∴P（﹣1，0），

當AC＝CP＝2時，△ACP是等腰三角形，

∴OP＝3﹣2或OP＝3+2

∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），

當AP＝CP時，△ACP是等腰三角形，此時點P與D重合，

∴P（1，0），

綜上所述，所有點P的坐標為（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．