Question

10．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+3分別交x軸、y軸于A，C兩點，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），經過A，C兩點，與x軸交于點B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D為直線AC上一點，點E為拋物線上一點，且D，E兩點的橫坐標都為2，點F為x軸上的點，若四邊形ADEF是平行四邊形，請直接寫出點F的坐標；
（3）若點P是線段AC上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ，求△ACQ的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入直線的解析式求得點C（0，3），將y=0代入求得x=-3，從而得到點A（-3，0），設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將點C的坐標代入可求得a=-1，從而得到拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；
（2）將x=2分別代入直線和拋物線的解析式，求得點D（2，5）、E（2，-5），然后根據平行四邊形的對角線互相平分可求得點F的坐標；
（3）如圖2所示：設點P的坐標為（a，a+3），則點Q的坐標為（a，-a²-2a+3）．QP=-a²-3a，由三角形的面積公式可知：△ACQ的面積=$-\frac{3}{2}{a}^{2}$-$\frac{9}{2}a$然后利用配方法求得二次函數的最大值即可

解答 解：（1）∵將x=0代入y=x+3，得y=3，
∴點C的坐標為（0，3）．
∵將y=0代入y=x+3得到x=-3．
∴點A的坐標為（-3，0）．
設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將點C的坐標代入得：-3a=3．
解得：a=-1．
∴拋物線的解析式為y=-（x+3）（x-1）．
整理得：y=-x²-2x+3；
（2）∵將x=2代入y=x+3得，y=5，
∴點D（2，5）．
將x=2代入y=-x²-2x+3得：y=-5．
∴點E的坐標為（2，-5）．
如圖1所示：

∵四邊形ADFE為平行四邊形，
∴點F的坐標為（7，0）．
（3）如圖2所示：

設點P的坐標為（a，a+3），則點Q的坐標為（a，-a²-2a+3）．
QP=-a²-2a+3-（a+3）=-a²-2a+3-a-3=-a²-3a．
∵△ACQ的面積=$\frac{1}{2}×AO•QP$，
∴△ACQ的面積=$\frac{1}{2}×3×（-{a}^{2}-3a）$=$-\frac{3}{2}{a}^{2}$-$\frac{9}{2}a$=$-\frac{3}{2}$（a$+\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∴△ACQ的面積的最大值為$\frac{27}{8}$．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，待定系數法求二次函數的解析式、一次函數與坐標軸的交點、配方法求二次函數的最大值，利用點Q和點P的坐標求得QP的長，從而得到△ACQ的面積與a的函數關系式是解題的關鍵．