Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，AE=AB，過點E作直線EF，在EF上取一點G，使得∠EGB=∠EAB，連接AG．

（1）如圖①，當EF與AB相交時，若∠EAB=60°，求證：EG=AG+BG；

（2）如圖②，當EF與CD相交時，且∠EAB=90°，請你寫出線段EG、AG、BG之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）EG=AG﹣BG，理由見解析．

【解析】試題分析：（1）如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點H，易證△ABG≌△AEH ，再判定△AGH是等邊三角形，即可得結論；（2）EG=AG-BG，如圖②，作∠GAH=∠EAB交GE于點H，類比（1）的方法證明△ABG≌△AEH，再判定△AGH是等腰直角三角形，即可得結論.

試題解析：

如圖，作∠GAH=∠EAB交GE于點H

∴∠GAB=∠HAE

∵∠EAB =∠EGB,∠APE=∠BPG

∴∠ABG=∠AEH

又∵AB=AE

∴△ABG≌△AEH

∴BG=EH,AG=AH

∵∠GAH=∠EAB=60°

∴△AGH是等邊三角形

∴AG=GH

∴EG=AG+BG

(2) EG=AG-BG,

如圖②，作∠GAH=∠EAB交GE于點H

∴∠GAB=∠HAE

又∵∠EGB=∠EAB=90°

∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°

∴∠ABG=∠AEH

又∵AB=AE

∴△ABG≌△AEH

∴BG=EH,AG=AH

又∵∠GAH =∠EAB=90°

∴△AGH是等腰直角三角形

∴AG=HG

∴EG=AG-BG