Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC中，D為AC上一點，E為AB延長線上一點，DE⊥AC交BC于點F，且DF=EF．

(1)求證：CD=BE；

(2)若AB=12，試求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4.

【解析】

（1）先作DM∥AB，交CF于M，可得△CDM為等邊三角形，再判定△DMF≌△EBF，最后根據全等三角形的性質以及等邊三角形的性質，得出結論；
（2）根據CD⊥AC，∠A=60°=∠ABC，可得∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，由此得出CM=MF=BF=BC，最后根據AB=12即可求得BF的長．

（1）證明：如圖，作DM∥AB，交CB于M，則∠DMF=∠EBF.

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠C=60°=∠CDM=∠CMD，

∴△CDM是等邊三角形，

∴CD=DM.

在△DMF和△EBF中，

∠DMF=∠EBF，

∠DFM=∠EFB，

DF=EF，

∴△DMF≌△EBF（AAS）.

∴DM=BE，

∴CD=BE.

（2）解：∵ED⊥AC，∠A=60°=∠ABC，

∴∠E=∠BFE=∠DFM=∠FDM=30°，

∴BE=BF，DM=FM.

由（1）知△DMF≌△EBF，

∴MF=BF，

∴CM=MF=BF.

又∵AB=BC=12，

∴CM=MF=BF=4.