Question

如圖1，已知拋物線的頂點為A（0，1），矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在x軸上，CF交y軸于點B（0，2），且其面積為8．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如圖2，若P點為拋物線上不同于A的一點，連接PB并延長交拋物線于點Q，過點P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R．
①求證：PB=PS；
②判斷△SBR的形狀；
③試探索在線段SR上是否存在點M，使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似？若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據B點的坐標以及矩形的面積可以求出矩形的四個頂點的坐標，根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式；
（2）①過點B作BN⊥PS，垂足為N，可以設P的坐標是（a，

1

4

a²+1），根據勾股定理就可以用a表示出PB=PS的長，由此可以證明；
②判斷△SBR的形狀，根據①同理可知BQ=QR，根據等邊對等角就可以證明∠SBR=90度，則△SBR為直角三角形；
③若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點的三角形相似，有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM兩種情況，根據相似三角形的對應邊的比相等就可以求出．

解答：解：（1）方法一：
∵B點坐標為（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面積為8，
∴CF=4．
∴C點坐標為（-2，2）．F點坐標為（2，2）．
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c．
其過三點A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．
得

1=c 2=4a-2b+c 2=4a+2b+c

，
解這個方程組，得a=

1

4

，b=0，c=1，
∴此拋物線的解析式為y=

1

4

x²+1．（3分）
方法二：
∵B點坐標為（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面積為8，
∴CF=4．
∴C點坐標為（-2，2），
根據題意可設拋物線解析式為y=ax²+c．
其過點A（0，1）和C（-2.2）

1=c 2=4a+c

解這個方程組，得a=

1

4

，c=1
此拋物線解析式為y=

1

4

x²+1．

（2）①證明：如圖（2）過點B作BN⊥PS，垂足為N．
∵P點在拋物線y=

1

4

x²+1上．可設P點坐標為（a，

1

4

a²+1）．
∴PS=

1

4

a²+1，OB=NS=2，BN=-a．
∴PN=PS-NS=

1

4

a2-1，
在Rt△PNB中．
PB²=PN²+BN²=（

1

4

a²-1）²+a²=（

1

4

a²+1）²
∴PB=PS=

1

4

a2+1．（6分）
②根據①同理可知BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理∠SBP=∠5（7分）
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90度．
∴△SBR為直角三角形．（8分）
③方法一：如圖（3）作QN⊥PS，
設PS=b，QR=c，
∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．PN=b-c．
∴QN²=SR²=（b+c）²-（b-c）²
∴SR=2

bc

．（9分）
假設存在點M．且MS=x，則MR=2

bc

-x．
若使△PSM∽△MRQ，
則有

b

x

=

2 bc -x

c

．
即x²-2

bc

x+bc=0
∴x1=x2=

bc

．
∴SR=2

bc

∴M為SR的中點．（11分）
若使△PSM∽△QRM，
則有

b

x

=

c

2 bc -x

．
∴x=

2b bc

b+c

．
∴

MR

MS

=

2 bc -x

x

=

2 bc

2b bc b+c

-1=

c

b

=

QB

BP

=

RO

OS

．
∴M點即為原點O．
綜上所述，當點M為SR的中點時．△PSM∽△MRQ；
當點M為原點時，△PSM∽△MRQ．（13分）
方法二：
若以P、S、M為頂點的三角形與以Q、M、R為頂點的三角形相似，
∵∠PSM=∠MRQ=90°，
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM兩種情況．
當△PSM∽△MRQ時．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．
由直角三角形兩銳角互余性質．知∠PMS+∠QMR=90度．
∴∠PMQ=90度．（9分）
取PQ中點為T．連接MT．則MT=

1

2

PQ=

1

2

（QR+PS）．（10分）
∴MN為直角梯形SRQP的中位線，
∴點M為SR的中點（11分）
∴

RM

MS

=1
當△PSM∽△QRM時，

RM

MS

=

QR

PS

=

QB

BP

∴QB=BP
∵PS∥OB∥QR
∴點M為原點O．
綜上所述，當點M為SR的中點時，△PSM∽△MRQ；
當點M為原點時，△PSM∽△QRM．（13分）

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，以及相似三角形的對應邊的比相等．