Question

如圖1，已知拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點C在拋物線的對稱軸上，點D在拋物線上，且以O、C、D、B四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求D點的坐標；
（3）連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線的頂點為A（2，1），設拋物線頂點式，把點O（0，0）代入即可求解析式；
（2）依題意得CD∥OB，CD=OB=4，又對稱軸x=2，故D點橫坐標x=6，代入拋物線解析式可求D點縱坐標，根據對稱軸可求滿足條件的點D′；
（3）根據拋物線對稱軸可知AO=AB，△AOB為等腰三角形，要使得△OBP與△OAB相似，則∠POB=∠BOA，A與A′對稱，可求直線OP的解析式，與拋物線解析式聯立可求P點坐標，檢驗BP與OB是否相等．

解答：解：（1）由題意可設拋物線的解析式為
y=a（x-2）²+1
∵拋物線過原點，
∴0=a（0-2）²+1，
∴a=-

1

4

．
拋物線的解析式為y=-

1

4

（x-2）²+1，
即y=-

1

4

x²+x

（2）如圖1，當四邊形OCDB是平行四邊形時，CD=OB，
由0=-

1

4

（x-2）²+1得x₁=0，x₂=4，
∴B（4，0），OB=4．
由于對稱軸x=2
∴D點的橫坐標為6．
將x=6代入y=-

1

4

（x-2）²+1，得y=-3，
∴D（6，-3）；
根據拋物線的對稱性可知，
在對稱軸的左側拋物線上存在點D，使得四邊形ODCB是平行四邊形，此時D點的坐標為（-2，-3），
當四邊形OCBD是平行四邊形時，D點即為A點，此時D點的坐標為（2，1）

（3）不存在．
如圖2，由拋物線的對稱性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．
若△BOP與△AOB相似，必須有∠POB=∠BOA=∠BPO
設OP交拋物線的對稱軸于A′點，顯然A′（2，-1）
∴直線OP的解析式為y=-

1

2

x
由-

1

2

x=-

1

4

x²+x，得x₁=0，x₂=6．
∴P（6，-3）
過P作PE⊥x軸，在Rt△BEP中，BE=2，PE=3，
∴PB=

13

≠4．
∴PB≠OB，
∴∠BOP≠∠BPO，
∴△PBO與△BAO不相似，
同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點．
所以在該拋物線上不存在點P，使得△BOP與△AOB相似．

點評：本題考查了二次函數解析式的求法，利用拋物線的性質尋找平行四邊形，相似三角形等問題，需要根據拋物線的對稱性，形數結合，解答問題．